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合作博弈——从联盟形成到 Shapley 值，当博弈论关注如何分配而非如何策略

原文提炼

非合作博弈 vs 合作博弈的根本分野：

"In non-cooperative game theory, the unit of analysis is the individual — what strategy should I choose? In cooperative game theory, the unit of analysis is the group — what coalitions will form, and how should the gains from cooperation be divided?"

非合作博弈 合作博弈
分析单元 个体策略 联盟与分配
核心问题 给定他人的策略，我该选什么？ 什么是公平分配公式？
解概念 纳什均衡 Shapley 值、核（Core）、核仁（Nucleolus）
信息要求 策略 + 收益函数 仅需特征函数 \(v(S)\)
典型应用 定价、投标、谈判 成本分摊、利润分配、投票权分析

合作博弈的形式化

设全体参与者 \(N = \{1,2,...,n\}\)，特征函数（characteristic function）\(v(S)\) 给出任意联盟 \(S \subseteq N\) 协作时的最大总收益。

核（Core）：分配方案 \((x_1, ..., x_n)\) 属于核，当且仅当：

  1. 效率：\(\sum_{i \in N} x_i = v(N)\)（总收益全分配）
  2. 无偏离激励：对任意联盟 \(S \subset N\)，\(\sum_{i \in S} x_i \geq v(S)\)（没有子联盟愿意脱离）

核可能为空——不是所有博弈都有稳定的分配方案。核为空时群体无法达成自愿协议。

Shapley 值——基于边际贡献的公平分配

Shapley 值是唯一同时满足四个公平公理的分配方案：

公理 含义
效率 分配总和 = 大联盟总收益
对称性 可互换的参与者获得相同分配
虚拟参与者 边际贡献始终为 0 的参与者获得 0
可加性 两个独立博弈的 Shapley 值可相加

Shapley 值公式：

\[\phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|! (n - |S| - 1)!}{n!} [v(S \cup \{i\}) - v(S)]\]

直觉：参与者 \(i\) 的 Shapley 值 = 在所有可能的参与者到达顺序中 \(i\) 的平均边际贡献。

三个核心应用场景

应用 联盟收益 \(v(S)\) Shapley 值的含义
成本分摊 联盟 \(S\) 的总成本 每个成员应摊成本 = 其 Shapley 值
投票权分析 联盟 \(S\) 能否通过议案 Shapley-Shubik 权力指数
ML 特征归因 模型用特征子集 \(S\) 的预测精度 SHAP 值 = Shapley 值在模型解释中的应用

纳什讨价还价解——联盟大小为 2 的合作博弈

两人合作博弈的特例：双方合作产生剩余 \(v(\{1,2\})\)，不同意则各自获得 \(d_1, d_2\)。

纳什讨价还价解 \(x^* = (x_1^*, x_2^*)\) 最大化：

\[(x_1 - d_1)(x_2 - d_2) \quad \text{s.t.} \quad x_1 + x_2 \leq v(\{1,2\})\]

这个乘积形式的直觉：分配越不平等，乘积越小 → 纳什解向公平倾斜。

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