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G 公式与 G 估计——时变处理下长期因果效应的两种互补方法

原文提炼

从时不变到时变——因果推断的关键跃迁：

"Most causal inference methods assume a single treatment at baseline. But in medicine, economics, and policy, treatments vary over time and depend on past outcomes. This creates time-varying confounding — a problem that standard regression cannot handle."

时变混杂（Time-varying Confounding）的致命性：

标准回归在时变处理中给出有偏估计，因为： 1. \(L_t\)（协变量）既受过去处理 \(A_{t-1}\) 影响，又影响未来处理 \(A_t\) 2. 控制 \(L_t\) 会阻断 \(A_{t-1}\) 的效应，不控制会产生混杂 3. 这是一个标准回归无法解决的困局

G 公式 (G-Formula)

核心思想：不控制时变协变量，而是模拟——在反事实世界中模拟整个协变量和结局的轨迹。

参数 G 公式的五步流程：

1. 拟合条件分布模型:
   f(Y_t | 历史)         ← 结局模型
   f(L_t | 历史)         ← 协变量模型

2. 定义对比制度:
   制度 d₁: "始终治疗"  →  A_t = 1 for all t
   制度 d₀: "从不治疗"  →  A_t = 0 for all t

3. 蒙特卡洛模拟 (N 次):
   For i = 1 to N:
     L_0_i ← 实际数据的初始分布
     For t = 0 to T:
       A_t_i = d_t(L_history)              ← 按制度设定处理
       从 f(L_{t+1} | history) 抽样 L_{t+1,i}  ← 模拟协变量演化
     从 f(Y | history) 抽样 Y_i^d           ← 模拟结局

4. 估计制度下的平均结局:
   E[Y^d] ≈ (1/N) Σ Y_i^d

5. 因果效应 = E[Y^{d₁}] - E[Y^{d₀}]

G 公式的优势与代价：

优势 代价
估计任意动态制度的因果效应 对模型设定高度敏感
自然地处理时变协变量的反馈环 \(T\) 很大时模拟量爆炸
不需要权重（避免极端权重） 需要为每个时变变量指定正确的分布族

G 估计 (G-Estimation) —— 结构嵌套模型的替代路径

核心思想：不模拟整个轨迹，直接建模"脉冲函数"（blip function）——在每个时间点多接受一单位治疗带来的额外效应。

脉冲函数：

\[\gamma_t(L_t, A_t) = E[Y^{\bar{A}_{t-1}, A_t, \underline{0}} - Y^{\bar{A}_{t-1}, 0, \underline{0}} | L_t, A_t]\]

即：给定历史 \(L_t\)，在时间 \(t\) 接受治疗 \(A_t\)（之后都不治疗）相比在 \(t\) 也不治疗的额外效应。

G 估计方程：

\[\sum_{i=1}^{n} S(L_i, A_i; \psi) \cdot (Y_i - \gamma(A_i; \psi)) = 0\]

其中 \(S\) 是得分函数，\(\psi\) 是脉冲函数的参数。G 估计通过求解估计方程直接得到参数 \(\hat{\psi}\)。

三种方法对比

方法 思想 优点 缺点
G 公式 蒙特卡洛模拟 灵活，处理任意制度 模型依赖强，计算量大
IPW/MSM 加权 简单，软件支持好 权重不稳定，极端值敏感
G 估计 直接建模效应 双重稳健 实现复杂，软件少

双重稳健（Doubly Robust）：结局模型或处理模型只要有一个正确，G 估计就是一致的。这是 G 估计比 G 公式和 IPW 都更鲁棒的原因。

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